IDENTITAS TRIGONOMETRI SUDUT RANGKAP

IDENTITAS TRIGONOMETRI SUDUT RANGKAP

Pengertian

Trigonometri yaitu bagian dari ilmu matematika yang mempelajari tentang hubungan antara sisi dan sudut dari suatu segitiga serta fungsi dasar yang muncul dari relasi tersebut.Trigonometri juga identik dengan fungsi trigonometri yang meliputi sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cosecan (cosec), secan (sec), dan cotangen (cotan) yang kesemuanya itu merupakan cara untuk menentukan suatu sisi sebuah segitiga dan sudut yang terbentuk dari dua buah sisi dalam sebuah segitiga.

Identitas trigonometri merupakan suatu relasi atau kalimat terbuka yang dapat memuat fungsi – fungsi trigonometri dan bernilai benar untuk setiap penggantian variabel dengan konstan anggota domain fungsinya. Kebenaran suatu relasi atau kalimat terbuka itu merupakan identitas yang perlu dibuktikan kebenarannya.

Sudut rangkap adalah perkalian bilangan bulat terhadap sebuah sudut. Nilai fungsi trigonometri sudut rangkap bias ditentukan dengan melalui nilai fungsi trigonometri sebuah sudut. Hubungan keduanya dapat diperoleh melalui rumus fungsi trigonometri penjumlahan sudut. Pada halaman ini akan kita bahas bagaimana menyatakan fungsi trigonometri sudut rangkap seperti sin2α atau sin3α kebentuk sinα. Berikut pembahasanya :

Rumus Fungsi Trigonometri Sudut Rangkap

A.      Identitas Sinus, Kosinus, dan Tangen untuk Sudut Rangkap

a)      Identitas Sinus Sudut Rangkap

Sudut rangkap yang dibahas dalam trigonometri adalah 2α. Sin 2α dapat dinyatakan sebagai ain [α+α]. Menggunakan identitas sinus jumlah dua sudut, diperoleh sebagai berikut.

Sin 2α = sin (α+α)

            = sin α cos α = cos α sin α

            = 2 sin α cos α

Sin 2 α = 2 sin α cos α

Contoh soal dan pembahasan :

·         Jika sinα = 3/5 dan α adalah sudut lancip, tentukan nilai sin2α ?

Pembahasan:

Diket : sinα = 3/5

           : cosα = 4/5

Sehingga,

sin 2α = 2. sinα cosα

sin 2α = 2 . 3/5 . 4/5

sin 2α = 6/25

 

b)      Identitas Kosinus Sudut Rangkap

·     Menggunakan rumus kosinus jumlah dua sudut diperoleh sebagai berikut.
cos 2α = cos (α+α)

= cos α cos α – sin α sin α

= cos² α – sin α

Cos 2 α = cos² α – sin α

·        Oleh karena sin²α = 1 – cos²α maka :

cos 2α = cos²α – sin²α

             = cos²α – ( 1 – cos²α )

             = 2 cos² α – 1

cos 2α = 2 cos² α – 1

·         Oleh karena cos²α = 1 – sin²α maka :

cos 2α = cos²α – sin²α

             = ( 1 – sin²α) - sin²α

             = 1 – 2 sin² α

cos 2α = 1 – 2 sin² α

·        Jadi identitas konisus sudut rangkap :

 cos 2α = cos²α – sin²α

             = 2 cos² α – 1

             = 1 – 2 sin² α

 

Contoh soal dan pembahasan :

·                                 Tentukan nilai fungsi cos 1/8 π adalah …..

Jawab :

Cos 2α = 2 cos² α – 1

Cos 2 (1/8π) = 2 cos² 1/8π – 1

Cos 1/4 π = = 2 cos² 1/8π – 1

         1/2√2 = 2 cos² 1/8π – 1

 1/2  √2 + 1 =  2 cos² 1/8π           : 2

   1/4√2 + 1/2 =  cos² 1/8π     

    cos2 1/8π  =  1/4√2 + 1/2 

    cos 1/8π  = √1/4√2 + 2/4

                      = √1/4 (√2 + 2)

                      = 1/2√( 2+√2)

 

c)     Identitas Tangen Sudut Rangkap

Menggunakan identitas tangen jumlah dua sudut diperoleh sebagai berikut.

tan 2α = tan (α+α)               

           = tan⁡ α + tan ⁡α /(1- tan⁡α tan⁡α  )               

           = (2 tan ⁡α)/(1-tan² α)

tan 2α =(2 tan α)/(1-tan² α)

 

Contoh soal dan pembahasan :

·         Jika diketahui nilai tan = 2/3 . Jika sudut α adalah sudut lancip maka tentukan nilai tan 2α !

     Pembahasan:

tan 2α = (2 – tan α) / (1 – tan²α)    

         = (2 - 2/3) / (1 –( 2/3)²)         

         = (4/3) / (1 - 4/9)          

         =  4/3 / 5/9           

         =   4/3 . 5/9                           

        =  12/5

      B. Identitas Trigonometri Sudut Pertengahan

a.     Identitas sinus sudut pertengahan

sin 1/2 α =  ± √(1-cosα)/2

 

b.     Identitas kosinus sudut pertengahan

sin 1/2 α =  ± √(1-cosα)/2

 

c.      Identitas tangen sudut pertengahan

sin 1/2 α =  ± √(1-cosα)/2

 

Contoh soal dan pembahasan :

·         Hitunglah luas segitiga , dengan a = 5 cm, b = 8 cm . Sudut C = 45^o

Jawab :

L =  1/2. a . b . sin C

   =  1/2. 5 . 8 . sin 45^o

    ^{= 20 . 1/2 . √2}   

    ^{= 10 √2}

 

·        Tentukan nilai dari sin 22,5^o !

Jawab :

cos 22,5^o = cos 45^o / 2

                = cos 1/2 (45^o)

               = √1+cos⁡45 ᵒ / 2              

               = √1+  1/2 √2                 

               =√1/2 + 1/4 √2